Categoría 3ª: Problemas resueltos.

1.-Probar que 8n+7 , siendo n un número natural, no puede escribirse como suma de tres cuadrados de números enteros.

SOLUCIÓN:

Cualquier número natural se puede escribir en una de estas formas: 8n, 8n+1, 8n+2, 8n+3, 8n+4, 8n+5, 8n+6 y 8n+7, siendo n un número natural (incluido el 0).

Si elevamos al cuadrado cada una de estas formas obtendremos:

(8n)² = 64n² = 8(8n²) = 8k (siendo k un número natural)

(8n+1)²= 8(8n²)+8(2n)+1 = 8k+1 (siendo k un número natural)

(8n+2)²= 8(8n²)+8(2n2)+4 = 8k+4 (siendo k un número natural)

(8n+3)²= 8(8n²)+8(2n3)+9 = 8(8n²)+8(2n3)+8+1 = 8k+1 (siendo k un número natural)

siguiendo este razonamiento, obtendremos en los demás casos:

(8n+4)² = 8k (siendo k un número natural)

(8n+5)² = 8k+1 (siendo k un número natural)

(8n+6)² = 8k+4 (siendo k un número natural)

(8n+7)² = 8k+1 (siendo k un número natural)

2.- La habitación de Juan es rectangular y tiene el suelo forrado con baldosas cuadradas iguales. Tiene 84 baldosas a lo ancho y 132 a lo largo. Si traza una diagonal con un rotulador ¿cuántas baldosas quedarán marcadas?

SOLUCIÓN:

132 + 84 - MCD(132, 84)

De esta forma la suma de tres cuadrados de números enteros será un múltiplo de 8 (8n) más la suma de tres números elegidos en el conjunto {0, 1, 4} y esta suma no puede ser nunca igual a 7.

3.- Hipatia fue una matemática egipcia nacida en el año 370 d.C. que propuso el siguiente problema:

Hallar un número que sea la suma de dos cuadrados y cuyo cuadrado sea, a su vez, la suma de dos cuadrados.

Hipatia observó que números de la forma 4n + 1, donde n es un número entero positivo podían, bajo ciertas condiciones, ser soluciones del problema. Obtén tres soluciones particulares y determina qué condiciones ha de cumplir n para obtener una solución.

SOLUCIÓN:

n	1	2	3	4	5	6
4n + 1	5	9	13	17	21	25
x^2 + y^2	2^2 + 1^2	-	3^2 + 2^2	4^2 + 1^2	-	4^2 + 3^2
(4n+1)^2	25	81	169	289	441	625
z^2 + k^2	4^2 + 3^2	-	12^2 + 5^2	15^2+ 8^2	-	24^2 + 7^2

Una posible conjetura es cuando 4n+1 es primo, el caso n = 6 quedaría fuera, en efecto se cumple para valores fuera de la tabla:

n = 7, 29 = 5² + 2² , 29² = 841 = 21² + 20²,

n = 9, 37 = 6² + 1², 37² = 35² + 12²

Si se observa que 25 es el cuadrado de una de las soluciones anteriores, podemos conjeturar que la regla será válida si excluimos los casos en que 4n+1 coincida con el cuadrado de una solución anterior.

4.- ¿Cuál es la cifra de las unidades del número que resulta de realizar la siguiente suma:

SOLUCIÓN:

n !	n ! =	(n !)^2	Cifra de unidades
1 !	1	1	1
2 !	2	2	2
3 !	6	36	6
4 !	24	576	6
5 !	120	14400	0
6 !	720	518400	0

Como puede verse en la tabla, a partir de n = 5 el factorial de n acaba en 0. Este hecho se debe a que en el desarrollo del factorial aparece, al menos una vez, el factor 10 = 5 ·2. Por lo tanto, la cifra de las unidades de la suma será la misma que la que resulta de sumar 1 + 2 + 6 + 6 = 15, es decir 5.

5.- X e Y son dos números naturales tales que X > Y. Si se añade Y a la suma de los X primeros números naturales el resultado es 1900. ¿Cuáles son los números X e Y?

SOLUCIÓN:

La suma de los X primeros números naturales viene dada por: , luego tendremos que , es decir, . Como X ha de ser un número natural, tendremos: El número natural R cuyo cuadrado está más próximo a 15201 es 123. Si elaboramos la siguiente tabla:

R	X	Y	C. del Enunciado
123	61	9	Si
122	60,5		No
121	60	70	No

Luego la solución es: X = 61, Y = 9