Categoría 1ª. Problemas resueltos

1.- En un número de tres dígitos el producto de sus tres cifras es 216. ¿Cuál es el valor más grande que puede alcanzar dicho número? ¿y el más pequeño?

SOLUCIÓN:

Factorizando 216 se obtiene: 216 = 2³ 3³ si designamos por x, y, z a las cifras del número tendremos:

x	y	z	Mayor número	Más pequeño
4	6	9	964	469
8	9	3	983	389
6	6	6	666	666

Luego el mayor número es 983 y el menor 389. Se forman ambos con las mismas cifras.

2.- David ha cumplido en el año 2000 tantos años como la suma de las 2 últimas cifras de su año de nacimiento. Su hermana Lucía ha cumplido en el año 2000 tantos años como la suma de las 4 cifras de su año de nacimiento. Halla, razonadamente, las edades de David y Lucía.

SOLUCIÓN:

Sea 19xy el año de nacimiento de David, tendremos que:

2000 - (1900 +10x + y) = x + y, de donde obtenemos: 11x + 2y = 100

Si hacemos la tabla:

x	y	Edad
9	½	No es válido
8	6	14
7	23/2	No es válido
6	11	No es válido

por lo tanto la edad de David es 14 años.

Sea 19zk la edad de su hermana Lucía, tendremos:

2000 - (1900 + 10z + k) = 1 + 9 + z + k, de donde: 11z + 2k = 90, hacemos una tabla como en el caso anterior:

x	y	Edad
8	1	19
7	13/2	No es válido
6	12	No es válido

Luego la edad de Lucía es 19 años.

3.- En la acera que conduce al instituto se quieren colocar 100 jardineras hexagonales (sombreadas en la figura), rodeadas con baldosas también hexagonales (sin sombrear en la figura). ¿Cuántas baldosas harán falta para las 100 jardineras? ¿Cuántas harían falta para un número cualquiera "n" de jardineras?

SOLUCIÓN:

Si hacemos una tabla como la que se muestra, a continuación, por inducción se obtiene la fórmula general:

Nº jardineras	Nº de baldosas	Descomposición
1	6	4 + 2
2	10	4.2+2
3	14	4.3+2
4	18	4.4+2
n	4.n + 2

4.- Los 14 dígitos de una clave secreta están escritos en las casillas que aparecen en la imagen. El espía Rodolfo, que no es un lince en su oficio, ha conseguido conocer tres dígitos de la clave -los que están representados en la ilustración. También sabe que, en ese tipo de claves, la suma de cualquier terna de cifras consecutivas es igual a 20, aunque lleva varias horas dándole vueltas a su cabeza, no consigue obtener ningún otro dígito de los once restantes. Como él mismo suele decirse: “Esto me pasa por no haberle prestado suficiente atención a las matemáticas”.

¿Podrías ayudarle y determinar los once dígitos que faltan?

SOLUCIÓN:

Si damos nombre a las celdas como se indica:

C10

Tendremos: 11+C10 = 20 , de donde: C10 = 9

De igual forma: C9 = 4

C8 = 9; C7= 7; C6 = 4; C5 = 9; C4 = 7; C3 = 4; C2 = 9; C1 = 4; A = 9.

5.- Marcos tiene 42 cubos idénticos, cada uno de ellos de 1 cm de arista. Los pega para formar un prisma de recto cuya base es un rectángulo de perímetro 18 cm, halla la altura del sólido de base rectangular.

SOLUCIÓN:

Si las dimensiones de la base son a y b y la altura h (a , b y h enteros) tendremos que a+b=9, luego:

a	b	h	V
1	9	42/9	42
2	7	42/14	42
3	6	42/18	42
4	5	42/20	42

De todos ellos el único valor entero que sale es 42/14 =3. Luego la altura es 3.

6.- Sin levantar el lápiz del papel y sin pasar más de una vez por el mismo trazar la figura que aparece al margen.

SOLUCIÓN

Si designamos con las letras ABCDE los vértices consecutivos del pentágono exterior de la figura, el camino a seguir será: ACEBDABCDEA. Evidentemente, no es la única solución...

7.- Hemos formado tres montones de monedas de 11, 7 y 6 monedas respectivamente. Podemos trasladar monedas de un montón a otro de acuerdo con estas reglas en cada traslado:

1. A un montón sólo le podemos añadir tantas monedas como tenga el montón en ese momento.

2. Todas las monedas añadidas a un montón han de proceder de un mismo montón.

Determina y razona cuál es el menor número de movimientos con el que podemos obtener tres montones iguales.

SOLUCIÓN

Con tres movimientos, como se indica en la siguiente tabla, se puede conseguir igualar el número de monedas en cada montón:

	MONTONES			Movim.
	A	B	C
inicio	11	7	6
1º	5	7	12	A	C
2º	8	4	12	B	A
3º	8	8	8	C	B

8.- Dos amigos que tienen una jarra de vino de 8 litros quieren repartírselo equitativamente. Disponen para ello de otras 2 jarras vacías, una con capacidad de 5 litros y la otra de 3 litros. Calcula los sucesivos movimientos de trasvase que deberán hacer para obtener dos partes de vino iguales, de 4 litros cada una.

SOLUCIÓN:

	8	5	3
0	8	0	0
1	3	5	0
2	3	2	3
3	6	2	0
4	6	0	2
5	1	5	2
6	1	4	3
7	4	4	0

9.- Queremos hallar algún número que al dividirlo por 9, por 15 y por 6 nos dé en todos los casos resto 2. Si hay varios (como es probable) podrás buscar el más pequeño y también, una vez hallado éste, una expresión que nos permita hallar todos ellos.

SOLUCIÓN:

Si designamos por x al número buscado, podemos escribir: de donde:

y . Como a debe ser múltiplo de 5 y 2, tendremos que

a = m.c.m.(2,5)=10 , sustituyendo en , obtenemos: x = 92.

10.- Con dos líneas rectas, divide la esfera de un reloj, como el que aparece en la ilustración, en tres partes tales que las sumas de los números que hay en cada una de ellas sean iguales.

SOLUCIÓN:

La suma de todos los números de la esfera del reloj es 78. Por lo tanto los números que haya en cada una de las tres partes deben sumar 26.

Si queremos buscar cuantos números consecutivos comprendidos entre 1 y 12 suman 26, podemos plantear los casos que aparecen en la siguiente tabla:

3 números	3x + 3 = 26	3x = 23	No válido
4 números	4x+6 = 26	x = 5	5, 6, 7, 8
5 números	5x + 10 = 26	5x = 16	No válido
6 números	6x + 15 = 26	6x = 11	No válido
7 números	7x + 21 = 26	7x = 5	No válido

En consecuencia una de las tres partes ha de contener a los números 5, 6, 7 y 8. Los números restantes se dividirán en dos partes:

1ª) 11, 12, 1 y 2; 2ª) 9, 10, 3 y 4

Como se indica en la ilustración.